% algebre1.tex --- matrices, systèmes : niveau secondaire
% !TeX program = lualatex
% Compilation : lualatex --shell-escape (les calculs formels exécutent Python)
\documentclass[marges=20, taille=11, precision=3]{texecole}
\begin{document}

soit h1 = <bleu marine gras section num>
soit h2 = <bleu italique sous-section>

<h1>Algèbre — lycée


<h2>Blocs matrices

Une matrice est un bloc : une ligne par rangée, le point-virgule sépare les coefficients. Chaque cellule passe par le mini-langage, donc $2x + 1$ ou $1/2$ y vivent. Parenthèses ou crochets servent eux-mêmes de délimiteur — ce que l'on voit à l'écriture est ce que l'on voit au rendu :

<Affiche>la matrice(
	1 ; 2 ; 3
	4 ; 5 ; 6
)

<Affiche>la matrice[
	2x + 1 ; 0
	0 ; 1/2
]

<h2>Matrice augmentée

Une barre | dans une rangée trace la barre d'augmentation à cette colonne sur toutes les rangées — la mise en place d'un pivot de Gauss :

<Affiche>la matrice[
	2 ; 1 | 7
	1 ; -1 | 1
]

<h2>Systèmes d'équations

Un système s'aligne tout seul sur le premier opérateur relationnel, égalités et inégalités mêlées, une équation par ligne :

<Soit>le système s {
	2x + 3y = 7
	x - y = 1
}

<Résous>le système s

<h2>Déterminant et inverse

<Soit>la matrice M {
	2 ; 1
	1 ; 1
}

<Calcule>le déterminant de M

<Calcule>l'inverse de M

<h2>Second degré

Le trinôme se donne tel qu'il s'écrit ; l'étude sort complète : discriminant, racines, forme factorisée et forme canonique, avec des fractions exactes tant que le discriminant est un carré parfait.

<Étudie>le second degré {
	2x^2 - 3x + 1
	x^2 - 4x + 4
	x^2 + x + 1
}

Un discriminant qui n'est pas un carré parfait garde le radical et donne une valeur approchée :

<Étudie>le second degré {
	x^2 - 2
}

<h2>Vecteurs en colonne

<Écris>le vecteur u de coordonnées (3 ; -2)

<Écris>le vecteur v de coordonnées (1/2 ; -3 ; 4)

<h2>Suite par récurrence

La suite se définit d'un premier terme et d'une relation ; les termes se calculent ensuite à la demande.

<Soit>la suite u, définie par u(0) = 1 et u(n+1) = 2u(n) + 1

<Calcule>les 6 premiers termes de u

<h2>Suites arithmétiques et géométriques

<Étudie>la suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 2

<Étudie>la suite u géométrique de premier terme 5 et de raison 1/2

<h2>Congruences

<Étudie>la congruence 3x ≡ 4 [7]

<Étudie>la congruence 6x ≡ 4 [8]

<h2>Notations de l'algèbre linéaire

L'engendré $engendré par(u, v)$, la trace $trace(A)$, le déterminant $déterminant(A)$, la transposée $^t{A}$, l'inverse $A^{-1}$, la comatrice $comatrice(A)$, le spectre $spectre(A)$ et l'adjoint $A^*$ se nomment en clair dans une formule.

Le noyau et l'image s'écrivent $noyau(A)$ et $image(A)$, le rang $rang(A)$.

<h2>Le pivot, pas à pas

<Soit>le système t {
	x + y + z = 2
	4x + 2y + z = 3
	9x + 3y + z = 6
}

<Résous>t pas à pas

<h2>Table de Cayley

Le groupe se nomme, la table se calcule : addition modulo n pour Z/nZ, multiplication des inversibles pour (Z/nZ)*.

<Dresse>la table de Cayley du groupe Z/4Z

<Dresse>la table de Cayley du groupe (Z/8Z)*

<h2>Dénombrement

<Dénombre>les combinaisons de 3 parmi 10

<Dénombre>les arrangements de 3 parmi 10

<Dénombre>les permutations de 5

<Dresse>le triangle de Pascal jusqu'à la ligne 5

<h2>Arithmétique

<Dresse>la décomposition en facteurs premiers de 360

<Applique>l'algorithme d'Euclide à 84 et 60

<h2>Nombres complexes

<Écris>le complexe z = 1 + i sous ses trois formes

<Écris>le complexe w = -2i sous ses trois formes

<h2>Puissances de matrices et chaînes de Markov

<Soit>la matrice M {
	0,5 ; 0,5
	0,25 ; 0,75
}

<Calcule>la puissance 3 de M

<Calcule>l'état stable de M

<h2>Graphes

<Construis>le graphe G {
	A -> B
	B -> C
	C -> A
	A -> C
}

<Dresse>la matrice d'adjacence de G

<Dénombre>les chemins de longueur 3 de A à B dans G

<h2>Équations diophantiennes

<Résous>l'équation diophantienne 12x + 20y = 8

<Résous>l'équation diophantienne 6x + 9y = 5

\end{document}